Método de Lagrange y Euler para analisis de flujo de fluidos

Para describir un campo de flujo, se puede adoptar cualquiera de los dos enfoques. El primer enfoque, conocido como descripción lagrangiana (en honor del matemático francés J. L. De Lagrange, 1736-1813), identifica cada partícula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo. Matemáticamente la velocidad del fluido se escribe como:

V = V (identidad de la partícula, t)

Las variables independientes son la identidad de la partícula y el tiempo. El enfoque lagrangiano se usa ampliamente en el campo de la mecánica de los fluidos y en el estudio de la dinámica. Una descripción lagrangiana es atractiva si se trata de un número de partículas pequeño. Si todas las partículas se mueven como un sólido rígido o si todas las partículas se desplazan solamente un poco de su posición inicial o su posición de equilibrio. Sin embargo, en un fluido en movimiento, identificar y seguir el rastro de varias partículas es virtualmente imposible. Surgen complicaciones adicionales debido a que una partícula típica de fluido con frecuencia experimenta un desplazamiento largo. Por estas razones, en la mecánica de fluidos la descripción lagrangiana no es muy útil.

 

El segundo enfoque, denominado descripción euleriana (en honor de matemático suizo L. Euler, 1707-1783), fija su atención sobre un punto particular (o región) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro y en las fronteras de la región) a lo largo del tiempo. Las propiedades de la partícula de fluido dependen de la localización de la partícula en el espacio y el tiempo, matemáticamente, el campo de velocidad se expresa como:

V = V (x, y, z, t)

 

Las variables independientes son la posición en el espacio, representada por las coordenadas cartesianas (x, y, z) y el tiempo. Se puede hablar acerca de la velocidad del fluido a la salida de la tubería, en 3 segundos después de haberse iniciado el flujo, o de la presión del aire a 3 pulgadas adelante del toldo del automóvil. Probablemente en cada instante una partícula diferente de fluido ocupa estás posiciones, pero esto no importa. Como la identificación de puntos fijos en el espacio generalmente es más fácil que identificar piezas individuales de fluido, la descripción euleriana se emplea con mucha frecuencia en la mecánica de fluidos. Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinación de la velocidad, la presión, etc., en función de coordenadas de espacio y tiempo. Se puede emplear entonces las funciones

V(x, y, z, t) o P (x, y, z, t)

 

Para encontrar la velocidad o presión en cualquier lugar dentro del campo en cualquier instante, sustituyendo simplemente los valores para x, y, z y t.

La descripción euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de la mecánica defluidos, ya que no establece lo que le sucede a cualquier partícula de fluido en especial. La aplicación en ingeniería de un análisis de flujo trata los efectos del movimiento de los fluidos sobre ciertos objetos, tales como los alabes de una bomba o las ventanas de un edificio. Para el diseñador de un edificio, es importante la presión sobre la ventana y no el efecto de la ventana sobre una partícula de fluido en particular.